日期﹕1998年1月12日﹒
時間﹕早上9時15分至12時15分﹒共三小時﹒
指示﹕每題的得分是相同﹐選取任何五題且最多五題回答﹐若答案超過五題﹐以得分最小的五題為標準﹒在完成一條題目﹐請用新的一頁回答另一條﹒回答時不用抄題目﹐清楚寫下題目的編號﹒

1. 試以代數方法給出“域”的定義和“有理數域”的定義。
   試陳述實數的“有序(<)公理”和“Dedekind 切割公理”。
   試給出滿足“有序公理”的域而且和實數域不同構的域。
2. 試用邏輯符號給出“實數域的子集A為有上界”和“實數域的子集A的一個上界為m”的定義。
   試定義一個有上界的實數子集A的上確界 supA。
   試陳述“上確界原理”。
   試找出A={ a_n=1/n² | n=1,2,....為任意自然數}的上確界並且給予證明。
3. 試證明實數的“有序公理”和實數的“上確界原理”等價。
4. 在確認實數域的存在性的前題上，試給出自然數的定義。
   對於任一自然數 n﹐證明以下任何兩條命題﹕
1. 1≦n
2. 若 n > 1 則 n-1也是一個自然數﹒
3. 對任一正實數 x 使得 x+n為自然數﹐則 x 亦為自然數﹒
4. 若自然數 m 大於 n 則實數 (m - n) 亦為自然數﹒
5. 若實數 a 滿足 n-1 < a < n ﹐則a不是自然數﹒
5. 設 B={v₁,v₂,.....,v_m} 為n維空間Rⁿ的m個互不相同的向量﹐B稱為Rⁿ的一個“茬”若B的任何一個向量不在其餘的任何兩個的向量所產生的“平面”上﹒若W={w₁,w₂,.....,w_m} 為n維空間Rⁿ的m個互不相同的向量﹐試以邏輯符號說明W不是一個Rⁿ的一個“茬”的條件﹒
   設f﹕[0,1] →R為一實值函數。試用邏輯符號分別給出以下的定義﹕
1. “函數 f 是內射”和“函數 f 是滿射”。
2. “函數 f 在[0,1]的某點 a 是連續 ”和“函數 f 在區間[0,1] 是連續 ”。
3. “函數 f 在區間[0,1]是上升”和“函數 f 在區間[0,1]是非上升”。
6. 設 b 為任一大於1的自然數，證明實數 x 為有理數當且僅當 x 能以 b 進制表示為循環小數。
   試給出有理數 1/8 和 1/5 的三進制的小數表示法。
7. 設 b 為非負實數﹐和n為任意自然數﹐試定義b 的 n 方根(b)^1/n﹒
   定義函數 g_n(x)=(x)^1/n﹐其中x 為正實數﹒試證明函數 g_n 在它的定義域上是連續﹒(題示﹕可以用下題的結果﹒)
8. 何謂數學歸納法﹐試解釋它本身和“自然數的系純”有什麼關係﹒
   設n為自然數﹐0<y<1為實數﹐試用數學歸納法證明　(1+y)ⁿ<1+3ⁿ y﹒