第六屆全澳校際小學數學比賽題解
日期﹕2002年3月23日

比賽時間﹕1小時30分鐘

註：以下的答案不一定適合小學生閱讀，可能老師能給出一些解釋。

  1. 試找出1911與2002的最大公因數(HCF)、及其最小公倍數(LCM)相差多少。

    2. 　
    答案：最小公倍數(LCM)比最大公因數(HCF)大___________________________。

    答案：最小公倍數(LCM)比最大公因數(HCF)大91x21x22-91=41951。
    解：1911=13x7x3x7=91x21；2002=13x7x2x11=91x22。兩數的最大公因子是13x7=91；而它們的最小公倍數是91x21x22 (=42042)。所以它們的差是91x21x22-91=41951。
    註：有很多的學生也做錯了這題，這是非常基本的，可能是數目比較大。
    　

  2. 在一僮200層的大厦中，有一座升降機出了毛病，每次只能上升20層，或者下降13層。若小明在99層，走進了有毛病的升降機，想要到達100層，問他要上升和下降的總層數是多少？

    3. 　
    答案：上升和下降的總層數是　　　　　　　　。

    解：由於1=40-39=2x20 - 3x13，所以上升和下降的總層數是2x20 + 3x13=79。
    註：如果將題目的條件改為「下降20層，或者上升13層」。問題變得難了。
    　

  3. 有大、中、小的水杯各一個。以上三個杯中，兩個杯的總容量是分別40、52、74。問將大杯比小杯的容量是多少？


    4. 　
    答案：大杯比小杯的容量多　　　　　　。
    方法一：設[大]、[中]、[小]分別為大、中、小三個杯的容量。 方法二：符號如上；這個解法是一條捷徑，但學生應先掌握方法一： 註：可以用圖案幫助，試多劃大、中、小杯一次。
    　
  4. 在以下的圖形，每個方格的尺寸是1 x 1。現在有6個1x2的磁磚，問有多少不同的方法用這6個磁磚來覆蓋以下的圖形，使得任何兩個磁磚互不重疊？

    5. 　
    磁磚可以橫放或豎放：、。
    其中一種排法：。
    　
    答案：不同的排列方法總共有　　　　　　種。
    解：在圖中的右上方的2x2方格中，只有兩種安排方法。 然後考慮左下角的1x1小方格，有兩個可能： 總結：不同的排列方法總共有 2x(2+2)=8種。
    註：這題是要學生分析不同的方法，可以用枚舉法，列出8種方法。
    　
  5. 有一張正方形的紙，小明用剪刀剛好剪出一個六邊形、一個五邊形、一個四邊形、一個三角形(以上的圖形不一定是正多邊形)。試繪出小明的方法。

    6. 　
        答案：。解：。
    注意：有當相多的學生誤解這問題，例如作出四邊形的數目多於1。　
    　
  6. 小明把1加上某一個合數M，發現得到的和是三個相鄰的正整數的乘積。試找出兩個這樣的數M。

    7. 　
    注意：M是個合數(或者稱為合成數)是指M不是一個質數(素數)。這樣的M有很多個。
    　
    答案：第一個數是　　　　　　、第二個數是　　　　　　　。
    解：首先M+1=(k-1)k(k+1)=k3-k。這樣的數M只可能寫成k3-k-1，其中k是某個正整數。 例如 119、209、335、503、1715、6839。
    首1000個素數可看網頁http://www.sftw.umac.mo/~fstitl/primary/1000.txt，
    有關素數的更多資料可以參考：http://www.utm.edu/research/primes。
    　
  7. 把最小的6個素數2、3、5、7、11、13分為兩組，分別把每個組的所有數之乘積計算出來，把較大的積稱為A、較小的積稱為B。試求A-B的最小可能值。

    8. 　
    例如：第一組是2、3、5、7、11；第二組是13，則A=2x3x5x7x11=2310，B=13。
    注意：兩組的分法有很多種，以上的例子只是其中一種，不同的分組方法得出不相同的乘積。
    　
    答案：A-B的最小值是__________。
    解：首先17=2x7x13-3x5x11=182-165=17。
    算出這個數對大部份的小學生已有一定的難度。
    證：現在要證明不能找到更小的差，但以下的證明並不是這題目對一般小學生的要求。 註：如果要將集合{2, 3, 5, 7, 11, 13}分為兩組，而且每組都不是空集，則這樣不同的方法有
    6C1+6C2+6C3=6/1+(6x5)/(1x2)+(6x5x4)/(1x2x3)=6+15+20=41種。
    　　
  8. 王老師要把70名學生劃分為人數不相同的小組，問至多可以分為多少組？

    9. 　
    答案：至多可以分為　　　　　　組。
    解：分別設a1, a2, ...., an為n個組的學生總數，由於對於每個k=1,2,...,n，有ak≧k。所以有70=a1+a2+ ....+an≧1+2+...+n=n(n+1)/2。
    續一嘗試n的可能值，12x13=156>140>11x12=132。於是n至多只能是11。所以至多可以分為11組。
    舉一個分組的例子：可以把70名學生分為{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11+8=19}。
    註：問可以有多少種不同的分法可以分兩類，例如：要求最多組，或者不一定是最多組？
    在以上的問題中，後者比前者更難。

    　

  9. 圖中梯形的面積是60平方厘米，下底比上底長五分之二。求圖中陰影部份的面積之差。

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    答案：陰影部份的面積之差是__________平方厘米。
    解：
    　
    圖中的梯形，設上底、下底的長度分別是x、y。則有(y-x)/y=2/5，即x=3y/5。 註：這題是要學生觀察三角形AOD、BOC的面積相同。對一般的小學生，可能不太熟識。但在數學比賽中，這是常用的。
    　
    　
  10. 某次考試，試題共六道，均為是非題。考生認為正確的就劃“　√　”，認為錯誤的就劃“　×　”。記分的方法是：每道題答對的給2分，不答的給1分，答錯的不給分。

    11. 已知A、B、C、D、E、F、G七人的答案及前六個人的得分記錄在下表中，請填出G的得分。
    　
       
      題號 A B C D E F G
      1   　√　 　√　 　√　 　×　 　×　 　√　
      2 　√　   　×　 　×　 　√　 　×　 　×　
      3 　√　 　×　   　√　 　×　 　×　 　×　
      4 　√　 　√　 　×　   　×　 　√　 　√　
      5 　√　 　×　 　√　 　√　   　×　 　√　
      6 　√　 　√　 　×　 　×　 　×　   　×　
      得分 7 5 5 5 9 7  
    　
    答案：G的得分是_____________。
    解：G的得分是 註：這是一條邏輯題，像這樣的問題是在數學比賽中十分常見；像這樣的問題在將來的小學比賽中必有一題。其實很多入學試題，包括大學的入學試題也有類似的問題。主要是訓練學生對不同事物的辯別能力。如果小學生有這樣的能力，對閱讀、學習、甚至語言上反駁(反辯)的能力也具體上增長。
附加題
  1. 把1、2、3、4、5、6、+、-、×、÷分為兩組如下：


    2. 首先從左方或右方取出一個符號或一個數碼，然後再從另一方輪流取出數碼或符號，順序把它們寫下來由左至右，直至左、右兩方再沒有數碼或符號；最後寫下來的是一個算式。

    在這算式中，兩個運算符號不能放在相連的位置，即兩個符號之間至少有一個數碼放開。
    最後再計算算式的數值。(注意：在最後計算數值時，最先乘除後加減。)
    例如：其中一個算式：1×5-32÷4+6，它的數值=5-8+6=3。
    試求算式數值的可能最大值。
    　
    答案：算式數值的最大值是
    □□□□□□□□□□=_____________。

    式子是：4÷2＋63×5-1=316。刪去證明316是最大值。最重要的是觀察63×5是最大的可能，要減號的話是-1或-2，及要除的話可以用÷2或÷1。其次要使得式子有意思，就是排序的方法。經嘗試後便可以找出答案的式子。
    原題目從人狼羊菜過河問題改過來。
    註：有部份學生誤解這個題的意思。因為題目要從左、右輪流各取一個數或算術運算符號。
    　

  2. 牧場上長滿牧草，牧草每天均速生長，這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，問供25頭牛可吃幾天？

    3. 　
    答：25頭牛可吃____________天。

    答案：25頭牛可吃5天。
    註：這條是一題名題。
    設牧草原來有1(個單位)；由於牧草會生長，設牧草每天增多x(單位)，而每頭牛每天要吃草y(單位)。