• 定積分及不定積分。

不定積分是原函數的慨念；所謂f(x)是函數g(x)的原函數是指 f '(x)=g(x)。
這時記g(x) dx = f(x) +C。
定積分基本上是指在指定的區間[a, b]內函數 y=f(x)與x軸所圍的(有符號)面積。
 

b  a

f(x) dx。

 
這個(面積)值是用極限方法來定義出來，一般要求函數f(x)是連續的，或者更簡單是黎曼可積。
• 微積分基本定理(第一形式)：如果函數 f(x)在閉區間[a, b]上連續，在[a, b]上定義函數如下：
 

F(x)=

x  a

f(t)dt

。

 
則 函數 F在閉區間[a, b]上連續、且在開區間(a, b)上有dF/dx (x)= f(x) 。
• 定積分和不定積分之間的關係是由微積分基本定理所給出：

微積分基本定理(第二形式)： 如果 g(x) 的原函數存在，記為f(x)，則
 

b  a

g(x)dx =

[

f(x)

]

b  a

。

 
• 導數：這代表某條曲線在某個點的切線之斜率，它是個實數量。
• 微分： d( f(x,y) ) = f_x dx + f_y dy；

這其實是非常重要的慨念，dx、dy可以看成是某個向量空間的一個基(像固定x軸、y軸一樣) 。相對於這個基，當x、y分別稍為增加δx、δy後，函數f(x,y)也稍為增加；因此得到的差額依賴於x、y及δx、δy。當δy=0時，這個差額只依賴於x、y及δx，若將這個差額除δx，再令δx→0，得到的值便是函數f(x, y)的對x的偏導分。類似地，對變量y也可作相同的討論。重要的一點：作為了一個把函數變到一個向量空間的構作(或映射)，它是線性的。
• 向量場：定義在n維實向量空間Rⁿ的一個子集D上的一向量場F(x)是指一個映射 F：D→Rⁿ。如二維平面上，一般地 向量場可以表示成　F(x, y)= M(x, y) i + N(x, y)j，其中　 M(x, y)、 N(x, y)皆是實值(分量)函數。
• 線積分(功)的定義： 對於任意一條分段光滑及連續的曲線C ：r(t) = x(t)i + y(t)j 為其參數化其中0≦t≦T，

線積分

C F . T ds 定義為

T  t=0

[ M(x(t), y(t))

dx  dt

+ N(x(t), y(t))

dy  dt

]dt

　
註：符號 ds表示曲線C的弧長的微分、T=T(x,y)代表曲線C在點(x,y)的單位切向量。
由於在積分號內，有參數函數x(t)、y(t)的出現，一般地，除了依賴函數M(x,y)和N(x, y) 及起點和終點外，這個線積分的數值也依賴於曲線C的選取。
• 格林定理： 假設連續二維向量場 F(x,y) = M(x,y) i +N(x,y) 的分量函數M(x,y)、N(x,y)定義在二維xy平面上的一開集Ω內，且M、N的偏導數在Ω也可定義。設C為Ω內一個局域D的邊界，且C是個分段光滑閉曲線。則線積分可以表示為二重積分：

C

F . T ds=

D

curl F

dxdy

其中curl F(x,y) =curl( M(x,y) i +N(x,y) j )=N_x-N_y代表向量場 F的旋度。
• 流量(Flux)：向量場F通過曲面S的流量由曲面積分 _S F^. n dσ，其中n是曲面S的單位法向量(假設n在曲面S上連續地變化)。

例子：流體速度場的流量等於單位時間內通過曲面S的流體的體積。
• 散度定理：

可微的向量場F的流量(見上面的定義)與F的散度(divergence)div F 之間的關係是

S

F. n dσ=

D

div F dV

，

其中S是D的邊界。

一致收斂：

一致收斂對極限及積分號的性質

李氏條件

Weistrass M判別法

Arezela-Ascoli定理

存在性的證明(附錄二)